问题 解答题
已知函数f(x)=
a
x
-x+b(x≠0)
.,其中a,b∈R
(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式;
(2)讨论函数f(x)的单调区间.
答案

(1)由题意得f′(x)=-

a
x2
-1=-
x2+a
x2

∵在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,

∴f′(2)=-

4+a
4
=3,且f(2)=7=
a
2
-2+b

解得,a=-16,b=17,

故函数f(x)的解析式:f(x)=-

16
x
-x+17(x≠0),

(2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),

f′(x)=-

a
x2
-1=-
x2+a
x2

当a≥0时,恒有f'(x)≤0,f(x)的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞);

当a<0时,令f'(x)=0,解得x=±

a

当x>

a
或x<-
a
时,f'(x)<0;当-
a
<x<
a
且x≠0时,f'(x)>0,

∴f(x)单调递减区间为(-∞,-

a
),(
a
,+∞),单调递增区间为(-
a
,0),(0,
a
),

综上得,当a≥0时,函数的f(x)的减区间为(-∞,0),(0,+∞);

当a<0时,减区间为(-∞,-

a
),(
a
,+∞),增区间为(-
a
,0),0,
a
).

单项选择题
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