问题
解答题
已知函数f(x)=
(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式; (2)讨论函数f(x)的单调区间. |
答案
(1)由题意得f′(x)=-
-1=-a x2
,x2+a x2
∵在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,
∴f′(2)=-
=3,且f(2)=7=4+a 4
-2+b,a 2
解得,a=-16,b=17,
故函数f(x)的解析式:f(x)=-
-x+17(x≠0),16 x
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
且f′(x)=-
-1=-a x2
,x2+a x2
当a≥0时,恒有f'(x)≤0,f(x)的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞);
当a<0时,令f'(x)=0,解得x=±
,a
当x>
或x<-a
时,f'(x)<0;当-a
<x<a
且x≠0时,f'(x)>0,a
∴f(x)单调递减区间为(-∞,-
),(a
,+∞),单调递增区间为(-a
,0),(0,a
),a
综上得,当a≥0时,函数的f(x)的减区间为(-∞,0),(0,+∞);
当a<0时,减区间为(-∞,-
),(a
,+∞),增区间为(-a
,0),0,a
).a