问题
解答题
设a∈R，函数f（x）=ax3-2x2-4ax，
（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求函数f（x）在区间[-1，5]上的最值．
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在R上为单调函数，若是，求实数a的取值范围；若不是，请说明理由．
答案
（1）函数的导数f'（x）=3ax2-4x-4a，
因为x=2是函数y=f（x）的极值点，
所以f'（2）=12a-8-4a=0，
即8a-8=0，所以a=1．
所以f'（x）=3x2-4x-4=（3x+2）（x-2），
由f'（x）＞0得，-1＜x＜-
或2＜x＜5，此时函数单调递增．2 3
由f'（x）＜0得，-
＜x＜2，此时函数单调递减．2 3
所以当x=-
时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．2 3
又f(-1)=1，f(-
)=2 3
，f(2)=-8，f(5)=55，40 27
所以最大值为55，最小值为-8．
（2）若a=0，则f（x）=-2x2，在R上不单调，所以a=0不成立．
若a≠0，则导数f'（x）=3ax2-4x-4a，对应的判别式△=16+48a2＞0恒成立．
所以不存在实数a，使得函数f（x）在R上为单调函数．