问题
解答题
已知函数f（x）=ln x-ax （a∈R，a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[1，2]上的最小值．
答案
解 （1）函数f（x）的定义域 为（0，+∞）．
f′（x）=
-a=1 x
（2分）1-ax x
因为a＞0，令f′（x）=
-a=0，可得x=1 x
；1 a
当0＜x＜
时，f′（x）=1 a
＞0；当x＞1-ax x
时，f′（x）=1 a
＜0，1-ax x
故函数f（x）的单调递增区间为（0，
），单调递减区间为（1 a
，+∞）．（4分）1 a
（2）①当0＜
≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，1 a
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（6分）
②当
≥2，即0＜a≤1 a
时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，1 2
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．（8分）
③当1＜
＜2，即1 a
＜a＜1时，函数f（x）在（1，1 2
）上是增函数，在（1 a
，2）上是减函数．1 a
又∵f（2）-f（1）=ln2-a，
∴当
＜a＜ln 2时，f（x）的最小值是f（1）=-a；1 2
当ln2≤a＜1时，f（x）的最小值为f（2）=ln2-2a．（10分）
综上可知，当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=-a；
当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=ln2-2a．（12分）
