已知函数f(x)=ax+
(1)a=2时,求f(x)的最小值; (2)若a≥0且f(x)在[1,2]上是单调函数,求实数a的取值范围. |
(1)由a=2,得f(x)=2x+
-3lnx(x>0),2 x
∴f′(x)=2-
-2 x2
=3 x
.2x2-3x-2 x2
令f′(x)=0,得x=2或x=-
.1 2
列表:
x | (0,2) | 2 | (2,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | 减函数 | 增函数 |
(2)f′(x)=a-
-a x2
=3 x
.ax2-3x-a x2
若a=0,x∈[1,2]时f′(x)<0
∴f(x)在[1,2]上单调递减,
若a>0,由f′(1)<0,且f(x)在[1,2]上是单调函数,
∴f′(x)≤0对x∈[1,2]恒成立,
即x∈[1,2]时,g(x)=ax2-3x-a≤0恒成立,
∴
,即a>0 g(1)≤0 g(2)≤0
,解得0<a≤2.a>0 -3≤0 4a-6-a≤0
综上得0≤a≤2.