问题 解答题
已知函数f(x)=ax+
a
x
-3ln x.
(1)a=2时,求f(x)的最小值;
(2)若a≥0且f(x)在[1,2]上是单调函数,求实数a的取值范围.
答案

(1)由a=2,得f(x)=2x+

2
x
-3lnx(x>0),

f(x)=2-

2
x2
-
3
x
=
2x2-3x-2
x2

令f′(x)=0,得x=2或x=-

1
2

列表:

x(0,2)2(2,+∞)
f′(x)-0+
f(x)减函数增函数
∴f(x)min=f(2)=5-3ln2;

(2)f(x)=a-

a
x2
-
3
x
=
ax2-3x-a
x2

若a=0,x∈[1,2]时f′(x)<0

∴f(x)在[1,2]上单调递减,

若a>0,由f′(1)<0,且f(x)在[1,2]上是单调函数,

∴f′(x)≤0对x∈[1,2]恒成立,

即x∈[1,2]时,g(x)=ax2-3x-a≤0恒成立,

a>0
g(1)≤0
g(2)≤0
,即
a>0
-3≤0
4a-6-a≤0
,解得0<a≤2.

综上得0≤a≤2.

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