（1）分两种情况讨论．

①当m=0时，方程为x-2=0，x=2．

∴m=0时，方程有实数根．

②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式

△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）

=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1

=（m+1）²≥0，

∴m≠0时，方程有实数根．

故无论m取任何实数时，方程恒有实数根．

综合①②可知，m取任何实数，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根；

（2）设x₁，x₂为抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标，

则x₁+x₂=

3m-1

m

，x₁x₂=

2m-2

m

．

由|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9m2-6m+1 m2 - 8m2-8m m2

=

m2+2m+1 m2

=

(m+1)2 m2

=|

m+1

m

|．

由|x₁-x₂|=2，得|

m+1

m

|=2，

∴

m+1

m

=2或

m+1

m

=-2．

∴m=1或m=-

1

3

．

∴所求抛物线的解析式为y₁=x²-2x，

y₂=-

1

3

（x-2）（x-4）．

其图象如右图所示：

（3）在（2）的条件下y=x+b与抛物线

y₁，y₂组成的图象只有两个交点，结合图象求b的取值范围．

y1=x2-2x y=x+b

，

当y₁=y时，得x²-3x-b=0，有△=9+4b=0得b=-

9

4

．

同理

y2=- 1 3 x2+2x- 8 3 y=x+b

，△=9-4（8+3b）=0，得b=-

23

12

．

观察图象可知，

当b＞-

9

4

，或b＜-

23

12

直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点；

由

y1=x2-2x y2=- 1 3 (x-2)(x-4)

，

当y₁=y₂时，有x=2或x=1．

当x=1时，y=-1．

所以过两抛物线交点（1，-1），（2，0）的直线为y=x-2．

综上所述可知：当b＜-

9

4

或b＞-

23

12

或b=-2时，

直线y=x+b与（2）中图象只有两个交点．