问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处有极值为10，求b的值；
（2）若对任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的最小值．
答案
（1）f'（x）=3x2+2ax+b
则
⇒f′(1)=3+2a+b=0 f(1)=1+a+b+a2=10
或a=4 b=-11
…（5分）a=-3 b=3
当
时，f'（x）=3x2+8x-11，△=64+132＞0，所以函数有极值点；a=4 b=-11
当
时，f′(x)=3(x-1)2≥0，所以函数无极值点；a=-3 b=3
则b的值为-11．…（7分）
（2）解法一：f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
则F（a）=2xa+3x2+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立∵x≥0，F（a）在a∈[-4，+∞）单调递增或为常数函数
所以得F（a）min=F（-4）=-8x+3x2+b≥0对任意的x∈[0，2]恒成立，
即b≥（-3x2+8x）max，又-3x2+8x=-3(x-
)2+4 3
≤16 3
，当x=16 3
时(-3x2+8x)max=4 3
，得b≥16 3
，所以 b的最小值为16 3
． …（15分）16 3
解法二：f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
即b≥-3x2-2ax对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
即b≥（-3x2-2ax）max．令F(x)=-3x2-2ax=-3(x+
)2+a 3 a2 3
①当a≥0时，F（x）max=0，∴b≥0；
②当-4≤a＜0时，F(x)max=
， ∴ b≥a2 3
．a2 3
又∵(
)MAX=a2 3
，∴b≥16 3
．16 3
综上，b的最小值为
．…（15分）16 3