问题
解答题
设函数f（x）=x3+ax2-9x的导函数为f′（x），且f′（2）=15．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
答案
（Ⅰ）因为f'（x）=3x2+2ax-9，（1分）
所以由f'（2）=15，得a=3，（3分）
则f（x）=x3+3x2-9x，f'（x）=3x2+6x-9．
所以f（0）=0，f'（0）=-9，（4分）
所以函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=-9x． （6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，得x=-3或x=1． （7分）
当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：
| x | （-∞，-3） | -3 | （-3，1） | 1 | （1，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | 27 | ↘ | -5 | ↗ |
可知函数f（x）在（-∞，-3）上单调递增，在（-3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
所以当x=-3时，f（x）有极大值27；当x=1时，f（x）有极小值-5． （13分）