（1）由题意知x＞0，则f′（x）=-

[ 1 x+1 +ln(x+1)]

x2

＜0，

故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；

（2）证明：当x＞0时，f（x）＞

3

x+1

恒成立，即证明（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，

令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x（x＞0），

则g′（x）=ln（x+1）-1，

当x＜e-1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞e-1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

所以x=e-1时，g（x）取得最小值，且最小值g（e-1）=3-e＞0，

所以当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，

故当x＞0时，f（x）＞

3

x+1

恒成立；

（3）证明：由（2）知：

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

（x＞0），

∴ln（x+1）＞

3x

x+1

-1=2-

3

x+1

＞2-

3

x

，

令x=n（n+1），则ln[1+n（n+1）]＞2-

3

n(n+1)

=2-3（

1

n

1

n+1

），

又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））＞2n-3[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2n-3（1-

1

n+1

）=2n-3+

3

n+1

＞2n-3

所以（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e^2n-3．