（Ⅰ）f′(x)=

ax-1

ax2

，a＞0，

因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f′(x)=

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立，

即：ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，亦即a≥

1

x

对x∈[1，+∞）恒成立，

a≥(

1

x

)max=1，即a≥1．

故正实数a的取值范围是[1，+∞）．

（Ⅱ）证明：一方面，由（1）知，f(x)=

1-x

ax

+lnx在[1，+∞）上是增函数，

所以f(

a+b

b

)＞f(1)=0，即

1- a+b b

a• a+b b

+ln

a+b

b

＞0，即ln

a+b

b

＞

1

a+b

．

另一方面，设函数g（x）=x-lnx（x＞1），g′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0（x＞1），

所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，

又g（1）=1＞0，当x＞1时，g（x）＞g（1）＞0，所以x＞lnx，则ln

a+b

b

＜

a+b

b

．

综上，

1

a+b

＜ln

a+b

b

＜

a+b

b

．