问题
解答题
| 定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②f′（x）是偶函数； ③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直． （Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式； （Ⅱ）设g(x)=lnx-
|
答案
（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c
∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f′（1）=3a+2b+c=0①
由f′（x）是偶函数得：b=0②
又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f'（0）=c=-1③]
由①②③得：a=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）由已知得：存在x∈[1，e]，使lnx-
| m |
| x |
即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx-x3+x
设M(x)=xlnx-x3+x
|
| 1 |
| x |
| 1-6x2 |
| x |
于是，H（x）≤H（1），即H（x）≤-1＜0，即M'（x）＜0∴M（x）在[1，e]上递减，∴M（x）≥M（e）=2e-e3
于是有m＞2e-e3为所求．