问题
解答题
设函数f(x)=sinx-xcosx,x∈R.
(I)当x>0时,求函数f(x)的单调区间;
(II)当x∈[0,2013π]时,求所有极值的和.
答案
(I)∵f(x)=sinx-xcosx,x>0,
∴f′(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx,
当f′(x)>0时,sinx>0,
∴2kπ<x<2kπ+π,k∈N,
∴函数f(x)的增区间为(2kπ,2kπ+π),k∈N.
当f′(x)<0时,sinx<0,
∴2kπ+π<x<2kπ+2π,k∈N,
∴函数f(x)的减区间为(2kπ+π,2kπ+2π),k∈N.
(II)当x=π,3π,…,2kπ+π,…时,函数f(x)取极大值,
当x=2π,4π,…,2kπ+2π,…时,函数f(x)取极小值,
∴当x∈[0,2013π]时,所有极值的和为:
f(π)+f(2π)+f(3π)+f(4π)+…+f(2013π)
=π-2π+3π-4π+…-2012π+2013π
=1007π.