设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x

则：x2+(

2

2

a) 2=R 2

而正四棱锥的高为h=R+x

故正四棱锥体积为：

V（x）=

1

3

×a2h=

1

3

×a2(R+x)=

2

3

(R 2-x 2)(R+x)

其中x∈（0，R）

∵

2

3

(R 2-x 2)(R+x) =

1

3

(2R-2x)(R+x)(R+x)≤

1

3

×(

(2R-2x)+(R+x)+(R+x)

3

)  3=

64

81

R3

当且仅当x=

1

3

R时，等号成立

那么这个正四棱锥体积的最大值为：

64

81

R³

故答案为：

64

81

R³