问题
解答题
| 已知函数f（x）=alnx-ax-3，a∈R （Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f′(x)+
（Ⅱ）求证：
|
答案
（Ⅰ）f′（x）=
（x＞0）（2分）a(1-x) x
f′（2）=-
=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3a 2
∴g（x）=x3+（
+2）x2-2x，m 2
∴g'（x）=3x2+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴
（8分）g′(t)＜0 g′(3)＞0
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：
，∴-g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0
＜m＜-9（10分）37 3
（II）令a=-1此时f（x）=-lnx+x-3，所以f（1）=-2，
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n-1，
∴0＜
＜lnn n
，n-1 n
∴
•ln2 2
•ln3 3
…ln4 4
＜lnn n
•1 2
•2 3
••3 4
=n-1 n
（n≥2，n∈N*）．1 n