（Ⅰ）当a=1时，

因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（-x）=-f（x）成立，

得

-x+b

x2+1

=-

x+b

x2+1

，∴

2b

x2+1

=0⇒b=0，

∴f(x)=

x

x2+1

，得f′(x)=

x2+1-2x2

(x2+1)2

=

-x2+1

(x2+1)2

，

令f'（x）=0，得x²=1，∴x=±1，

经检验x=±1是函数f（x）的极值点．

（Ⅱ）因为 f(x)=

ax+b

x2+1

，∴f′(x)=

a(x2+1)-2x(ax+b)

(x2+1)2

=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，

令f'（x）＞0⇒-ax²-2bx+a＞0，得ax²+2bx-a＜0，

①当a＞0时，方程ax²+2bx-a=0的判别式△=4b²+4a²＞0，两根x=

-2b± △

2a

=

-b± a2+b2

a

，

单调递增区间为(

-b- a2+b2

a

，

-b+ a2+b2

a

)，

②当a＜0时，单调递增区间为(-∞，

-b- a2+b2

a

)和(

-b+ a2+b2

a

，+∞)．

（Ⅲ） 因为g′(x)=cosx-

2

π

，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得cosx0=

2

π

，其中x0∈(0，

π

2

)．

当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：

x	（0，x0）	x0	（x0，a）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗		↘

∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．

又g（0）=0，g(a)＜g(

π

2

)=0，∴h（a）=g（a），∴h(a)=sina-

2

π

a，

b=0时，由函数f(x)=

ax

x2+1

(x∈R)是奇函数，且a∈(

π

2

，π]，

∴x＞0时，0＜f(x)=

ax

x2+1

=

a

x+ 1 x

≤

a

2

，当x=1时取得最大值

a

2

；

当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，f(x)∈[-

a

2

，0)，

∴函数f（x）的最小值为f(x)最小=-

a

2

，

要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）_最小＞h（a），

∴-

a

2

＞sina-

2

π

a，即不等式

2

π

a-

a

2

-sina＞0在a∈(

π

2

，π]上有解，a=π符合上述不等式，

∴存在满足条件的实数a=π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．