问题
解答题
设函数f（x）=alnx-x，其中a∈R，且a≠0．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
答案
（Ⅰ）当a=2时，f(x)=2lnx-x，则f′(x)=
-1． 2 x
令f'（x）=0，得x=2．
当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：
| x | 1 | （1，2） | 2 | （2，e） | e |
| f'（x） | + | 0 | - | ||
| f（x） | -1 | ↗ | 极大值 | ↘ | 2-e |
因为f（1）＜f（e），
所以当x=1时，f（x）在区间[1，e]上有最小值-1．
（Ⅱ）函数f（x）=alnx-x的定义域为（0，+∞）．
求导，得f′(x)=
-1=a x
． a-x x
①当a＜0时，由x＞0，得f′(x)=
＜0．a-x x
所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x=a．
当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：
| x | （0，a） | a | （a，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ |
综上，当a＜0时，函数f（x）区间（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．