问题 解答题

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,g(x)=12x-4,若f(-1)=0,且f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为y=g(x).

(1)求实数a,b,c的值;

(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的单调区间.

答案

(1)∵f(-1)=0,

∴-1+a-b+c=0①,

由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b,

又∵f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=g(x)=12x-4,

∴f(1)=g(1)=12-4=8,且f′(1)=12,即a+b+c=7②,2a+b=9③,

联立方程①②③,解得:a=3,b=3,c=1;

(2)把(1)求得的a,b,c的值代入得f(x)=x3+3x2+3x+1,

∵h(x)=f(x)-g(x)=x3+3x2-9x+5,

∴h′(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1),

由h′(x)>0,解得x<-3或x>1;由h′(x)<0,解得-3<x<1,

∴h(x)的单调增区间为:(-∞,-3)和(1,+∞);单调减区间为:(-3,1).

材料题
单项选择题