设函数f（x）=ex．（I）求证：f（x）≥ex；（II）记曲线y=f（x）

问题解答题

设函数f（x）=e^x．

（I）求证：f（x）≥ex；

（II）记曲线y=f（x）在点P（t，f（t））（其中t＜0）处的切线为l，若l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值．

答案

（I）证明：设g（x）=e^x-ex，∴g′（x）=e^x-e，

由g′（x）=e^x-e=0，得x=1，

∴在区间（-∞，1）上，g′（x）＜0，

函数g（x）在区间（-∞，1）上单调递减，

在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，

函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，

g（x）≥g（1）=0，

∴f（x）≥ex．

（II）∵f′（x）=e^x，∴曲线y=f（x）在点P外切线为l：y-e^t=e^t（x-t），

切线l与x轴的交点为（t-1，0），与y轴的交战为（0，e^t-te^t），

∵t＜0，∴S=S（t）=

(1-t)•(1-t)et=

(1-2t+t2)et，

∴S′=

et(t2-1)，

在（-∞-1）上，S（t）单调增，在（-1，0）上，S（t）单调减，

∴当t=-1时，S有最大值，此时S=

．