设a为实数，函数f（x）=x|x2-a|．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；（2）求函数f（x）的单调区间．
（1）当a=1时，f（x）=x|x2-1|．
∵x∈[-1，1]，∴f（x）=-x3+x，
则f′（x）=-3x2+1=-3（x-）（x+），
令f′（x）=0，得x=，x=-，
∵±∈[-1，1]，
f（-1）=1-1=0，
f（-）=-（-）3-=-，
f（）=()3-=，
f（1）=-1+1=0，
∴函数f（x）在x∈[-1，1]上的最小值为-，最大值为．
（2）（i）当a=0时，f（x）=x3，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）．
（ii）当a＜0时，f（x）=x3-ax，
∵f′（x）=3x2-a＞0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴f（x）的增区间为（-∞，+∞）．
（iii）当a＞0时，①当x≥或x≤-时，f（x）=x3-ax，
因为f′（x）=3x2-a=3（x+）（x-），-＞-，＜，
所以，当x≤-或x≥时，f′（x）＞0，
从而f（x）的单调增区间为(-∞，-)及(，+∞)．
②当-＜x＜时，f（x）=-x3+ax，
f′（x）=-3x2+a=-3(x+)(x-)，
令f′（x）=0，得x=，x=-，
列表，得
| x | （-，-） | - | （-，） | | （，） |
| f′（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | ↓ | 极小值 | ↑ | 极大值 | ↓ |
∴f（x）的单调增区间为（
-，），f（x）的单调减区间为
(-，-)，
(，)．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为(-∞，-)，(，+∞)及(-，)，
f（x）的单调减区间为(-，-)，(，)．
