（Ⅰ）证明：求导函数f′（x）=6x（ax-1）．

因为a＞0且x＜0，所以f′（x）＞0．

所以函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数．                  …（6分）

（Ⅱ）由题意，g（x）=2ax³+（6a-3）x²-6x，（x∈[0，1]），则g′（x）=6[ax²+（2a-1）x-1]．…（8分）

令g′（x）=0，即ax²+（2a-1）x-1=0．①

由于△=4a²+1＞0，可设方程①的两个根为x₁，x₂，

由①得x₁x₂=-

1

a

，

由于a＞0，所以x₁x₂＜0，不妨设x₁＜0＜x₂，g′（x）=6a（x-x₁）（x-x₂）．

当0＜x₂＜1时，g（x₂）为极小值，

所以在区间[0，1]上，g（x）在x=0或x=1处取得最大值；

当x₂≥1时，由于g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，所以最大值为g（0），

综上，函数g（x）只能在x=0或x=1处取得最大值．      …（10分）

又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（1），

即0≥8a-9，解得a≤

9

8

，

又因为a＞0，所以a∈（0，

9

8

]．                                      …（13分）