问题 解答题
抛物线y=
1
2
x2-2(m+
5
4
)x+2(m+1)
与y轴的正半轴交于点C,与x轴交于A、B两点,并且点B在A的右边,△ABC的面积是△OAC面积的3倍.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)判断△OBC与△OCA是否相似,并说明理由.
答案

(1)设A(x1,0),(x2,0),△=4(m+

3
4
2>0,C(0,2m+2)是y轴正半轴上的点,

则2m+2>0,即m>-1,

又x1+x2=4(m+

5
4
)>0,

x1x2=4(m+1)>0,

∴x2>x1>0,

由S△ABC=3S△OAC得S△OBC=4S△OAC

∴x2=4x1

与根与系数的关系联立可得,(

4
5
m+1)2=m+1,

解得,m1=0,m2=-

15
16

对应的抛物线解析式为y=

1
2
x2-
5
2
x+2,y=
1
2
x2-
5
8
x+
1
8

(2)当m=0时,抛物线解析式为y=

1
2
x2-
5
2
x+2,

可得A(1,0),B(4,0),C(0,2).

OA
OC
=
1
2
OC
OB
=
2
4
=
1
2

故△AOC△COB.

当m=-

15
16
时,

可得A(

1
4
,0),B(1,0),C(0,
1
8
).

OA
OC
=
1
4
1
8
=2;
OC
OB
=
1
8
1
=
1
8
OB
OC
=8;

故△AOC与△COB不相似.

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