问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）求曲线在 p（1，0）处的切线方程 （2）求函数的单调区间 （3）证明f（x）≤
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答案
（1）f′(x)=
，k=f′(1)=1，1-lnx x2
所以切线方程为y-0=（x-1），即x-y-1=0…（4分）
（2）易知x＞0，由f'（x）＞0得0＜x＜e，所以f（x）递增区间：（0，e）…（6分）
f'（x）＜0得x＞e，递减区间：（e，+∞） …（8分）
（3）要证f（x）≤
在定义域内恒成立x-1 x
只需证xf（x）-x+1≤0在（0，+∞） 上恒成立，
只需证lnx-x+1≤0在（0，+∞） 上恒成立，
令g（x）=lnx-x+1（x＞0），由g'（x）=
-1=0得x=1．1 x
则在x=1处有极大值（也是最大值）g（1）=0 …（13分）
∴lnx-x+1≤0
∴f（x）≤
在（0，+∞） 上恒成立．x-1 x