问题 解答题
设函数f(x)=x-
ln(1+x)
1+x

(1)令N(x)=(1+x)2-1+ln(1+x),判断并证明N(x)在(-1,+∞)上的单调性,并求N(0);
(2)求f(x)在定义域上的最小值;
(3)是否存在实数m,n满足0≤m<n,使得f(x)在区间[m,n]上的值域也为[m,n]?
(参考公式:[ln(1+x)′]=
1
1+x
答案

(1)当x>-1时,N(x)=2x+2+

1
1+x
>0(2分)

所以,N(x)在(-1,+∞)上是单调递增,N(0)=0(4分)

(2)f(x)的定义域是(-1,+∞)

f(x)=1-

1-ln(x+1)
(1+x)2 
=
N(x)
(1+x)2

当-1<x<0时,N(x)<0,所以,f(x)<0,

当x>0时,N(x)>0,所以,f(x)>0,(8分)

所以,在(-1,0)上f(x)单调递减,在(0,+∞)上,f(x)单调递增,

所以,fmin=f(0)=0(10分)

(3)由(2)知f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数,

若存在m,n满足条件,则必有f(m)=m,f(n)=n,(11分)

也即方程f(x)=x在[0,+∞)上有两个不等的实根m,n,

但方程f(x)=x,即

ln(x+1)
(x+1)
=0只有一个实根x=0,

所以,不存在满足条件的实数m,n.(14分)

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