问题
解答题
设函数f(x)=x-
(1)令N(x)=(1+x)2-1+ln(1+x),判断并证明N(x)在(-1,+∞)上的单调性,并求N(0); (2)求f(x)在定义域上的最小值; (3)是否存在实数m,n满足0≤m<n,使得f(x)在区间[m,n]上的值域也为[m,n]? (参考公式:[ln(1+x)′]=
|
答案
(1)当x>-1时,N′(x)=2x+2+
>0(2分)1 1+x
所以,N(x)在(-1,+∞)上是单调递增,N(0)=0(4分)
(2)f(x)的定义域是(-1,+∞)
f′(x)=1-
=1-ln(x+1) (1+x)2 N(x) (1+x)2
当-1<x<0时,N(x)<0,所以,f′(x)<0,
当x>0时,N(x)>0,所以,f′(x)>0,(8分)
所以,在(-1,0)上f(x)单调递减,在(0,+∞)上,f(x)单调递增,
所以,fmin=f(0)=0(10分)
(3)由(2)知f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数,
若存在m,n满足条件,则必有f(m)=m,f(n)=n,(11分)
也即方程f(x)=x在[0,+∞)上有两个不等的实根m,n,
但方程f(x)=x,即
=0只有一个实根x=0,ln(x+1) (x+1)
所以,不存在满足条件的实数m,n.(14分)