问题
解答题
| 已知函数f（x）=x2-ax-aln（x-1）（a∈R） （1）当a=1时，求函数f（x）的最值； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）试说明是否存在实数a（a≥1）使y=f（x）的图象与y=
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答案
（1）函数f（x）=x2-ax-aln（x-1）（a∈R）的定义域是（1，+∞）
当a=1时，f′(x)=2x-1-
=1 x-1
，所以f（x）在(1，2x(x-
)3 2 x-1
)为减函数3 2
在(
，+∞)为增函数，所以函数f（x）的最小值为f(3 2
)=3 2
+ln2．3 4
（2）f′(x)=2x-a-
=a x-1
，2x(x-
)a+2 2 x-1
若a≤0时，则
≤1，f（x）=a+2 2
＞0在（1，+∞）恒成立，所以f（x）的增区间为（1，+∞）．2x(x-
)a+2 2 x-1
若a＞0，则
＞1，故当x∈(1，a+2 2
]，f′（x）=a+2 2
≤0，2x(x-
)a+2 2 x-1
当x∈[
，+∞)时，f（x）=a+2 2
≥0，2x(x-
)a+2 2 x-1
所以a＞0时f（x）的减区间为(1，
]，f（x）的增区间为[a+2 2
，+∞)a+2 2
（3）a≥1时，由（2）知f（x）在（1，+∞）的最小值为f(
)=-a+2 2
+1-alna2 4
，a 2
令g(a)=f(
)=-a+2 2
+1-alna2 4
在[1，+∞）上单调递减，a 2
所以g(a)max=g(1)=
+ln2，则g(a)max-(3 4
+ln2)=5 8
＞0，1 8
因此存在实数a（a≥1）使f（x）的最小值大于
+ln2，5 8
故存在实数a（a≥1）使y=f（x）的图象与y=
+ln2无公共点5 8