问题
填空题
直三棱柱的侧棱长为2，一侧棱到对面的距离不小于1，从此三棱柱中去掉以此侧棱为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等，则所剩几何体的体积最小值为______．
答案
如图示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，∠BAC=α，AA1=2，设AB=a，AC=b
由于从此三棱柱中去掉以此侧棱为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等，
则
×4π×(α 2π
)2=π×(2 2
)2，所以α=2 2 π 2
则所剩几何体的体积为2ab-
×α 2π
×(4π 3
)3=2ab-2 2 π 3
又由一侧棱到对面的距离不小于1，则a≥1，b≥1
故所剩几何体的体积最小值为2-π 3
故答案为 2-π 3