问题
解答题
已知函数f(x)=
（I）求函数f（x）的单调区间； （II）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值； （III）设g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数） |
答案
（Ⅰ）因为函数f（x）=
，a(x-1) x2
∴f′（x）=
=[a(x-1)]′•x2-(x2)′a(x-1) x4
，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，a(2-x) x3
f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，
故函数在（0，2）上递增，在（-∞，0）和（2，+∞）上递减．
（Ⅱ）设切点为（x，y），
由切线斜率k=1=
，⇒x3=-ax+2a，①a(2-x) x3
由x-y-1=x-
-1=0⇒（x2-a）（x-1）=0⇒x=1，x=±a(x-1) x2
．a
把x=1代入①得a=1，
把x=
代入①得a=1，a
把x=-
代入①得a=-1（舍去），．a
故所求实数a的值为1．
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x2f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，解lnx+1-a=0得x=ea-1，
故g（x）在区间（ea-1，+∞）上递增，在区间（0，ea-1）上递减，
①当ea-1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；
②当1＜ea-1＜e时，即0＜a＜2时，g（x）的最大值为g（ea-1）=a-ea-1；
③当ea-1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a-ae．