问题 解答题
已知函数f(x)=
a(x-1)
x2
,其中a>0.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(III)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数)
答案

(Ⅰ)因为函数f(x)=

a(x-1)
x2

∴f′(x)=

[a(x-1)]′•x2-(x2)′a(x-1)
x4
=
a(2-x)
x3
,f′(x)>0⇒0<x<2,

f′(x)<0⇒x<0,或x>2,

故函数在(0,2)上递增,在(-∞,0)和(2,+∞)上递减.

(Ⅱ)设切点为(x,y),

由切线斜率k=1=

a(2-x)
x3
,⇒x3=-ax+2a,①

由x-y-1=x-

a(x-1)
x2
-1=0⇒(x2-a)(x-1)=0⇒x=1,x=±
a

把x=1代入①得a=1,

把x=

a
代入①得a=1,

把x=-

a
代入①得a=-1(舍去),.

故所求实数a的值为1.

(Ⅲ)∵g(x)=xlnx-x2f(x)=xlnx-a(x-1),

∴g′(x)=lnx+1-a,解lnx+1-a=0得x=ea-1

故g(x)在区间(ea-1,+∞)上递增,在区间(0,ea-1)上递减,

①当ea-1≤1时,即0<a≤1时,g(x)在区间[1,e]上递增,其最小值为g(1)=0;

②当1<ea-1<e时,即0<a<2时,g(x)的最大值为g(ea-1)=a-ea-1

③当ea-1≥e,即a≥2时,g(x)在区间[1,e]上递减,其最小值为g(e)=e+a-ae.

阅读理解与欣赏

阅读两则与“赏荷”有关的文言文,完成题(16分)

[甲]水陆草木之花,可爱者甚蕃。晋陶渊明独爱菊。自李唐来,世人盛爱牡丹。予独爱莲之出淤泥而不染,濯清涟而不妖,中通外直,不蔓不枝,香远益清,亭亭净植,可远观而不可亵玩焉。

予谓菊,花之隐逸者也;牡丹,花之富贵者也;莲,花之君子者也。噫!菊之爱,陶后鲜有闻。莲之爱,同予者何人?牡丹之爱,宜乎众矣。  

[乙]余忆年少时,住西湖。每至夏日,临湖赏荷,便欣然忘食。一日,偕数友,观荷于湖边亭中。兴正浓,忽有大雨倾盆而至,湖中荷花尽作飘摇之态。少时,雨过天晴,波澜不惊,湖天一色。荷花为雨所洗,鲜妍明媚,袅娜多姿,清丽雅致,实为花中仙子也。李太白诗云“清水出芙蓉,天然去雕饰”,余以为妙绝。

小题1:

解释下列句中的加点词语。(2分)

(1)可远观而不可亵玩焉(         )    (2)余以为妙绝(         )

小题2:

《古汉语词典》对“鲜”字有以下几种解释。请根据语境,选出对“陶后鲜有闻”中“鲜”字的解释最恰当的一项。(     )(2分)

A.读xiān,活鱼。

B.读xiān,新鲜。

C.读xiān,鲜艳。

D.读xiǎn,少。小题3:

根据语意,下列语句停顿正确的一项是(     )(2分)

A.晋陶渊明独/爱菊

B.世人/盛爱牡丹

C.荷花为雨/所洗

D.余忆年/少时小题4:

将下列句子翻译成现代汉语。(4分)

(1)莲之爱,同予者何人?        (2)一日,偕数友,观荷于湖边亭中。

小题5:

读文赏荷。(7分)

(1)赏荷,可观其形美。[乙]段描绘雨中荷花的语句是“                ”,描绘雨后荷花的语句是“               ”。(用原文填空)(2分)

(2)赏荷,可品其神美。甲、乙两文都表达了作者对荷花的喜爱和赞美之情,但赞美和喜爱的原因有所不同,请结合文句加以分析。(2分)

(3)许多诗人、学者都写过赏荷、咏莲的诗篇,除上述选文外,请你举一例(含上下句)与“莲”有关的古诗句。(2分)

                                        

单项选择题