问题
解答题
已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=
（1）求a，b的值； （2）设直线l：y=g（x），曲线S：y=f（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件： ①直线l与曲线S相切且至少有两个切点； ②对任意x∈R都有g（x）≥f（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．试证明：直线l：y=x+2为曲线S：y=ax+bsinx“上夹线”． |
答案
（1）∵f（x）=ax+bsinx，
∴f′（x）=a+bcosx，
而由已知得：
，a+
b=01 2
•a+π 3
b=3 2
-π 3 3
∴a=1，b=-2，
此时f（x）=x-2sinx，
∴f′（x）=1-2cosx，
当x∈（0，
）时，f′（x）＜0，π 3
当∈（
，π 3
）时，f′（x）＞0，π 2
∴当x=
时，f（x）取得极小值π 3
-π 3
，3
即a=1，b=-2符合题意；
（2）证明：由f′（x）=1-2cosx=1，得cosx=0，
当x=-
时，cosx=0，此时y1=x+2=-π 2
+2，y2=x-2sinx=-π 2
+2，π 2
∴y1=y2，
∴（-
，-π 2
+2）是直线l与曲线S的切点；π 2
当x=
时，cosx=0，此时y1=x+2=3π 2
+2，y2=x-2sinx=3π 2
+2，3π 2
∴y1=y2，
∴（
，3π 2
+2）也是直线l与曲线S的切点；3π 2
∴直线l与曲线S相切且至少有两个切点，
对任意x∈R，g（x）-f（x）=（x+2）-（x-2sinx）=2+2sinx≥0
即g（x）≥f（x），因此直线l：y=x+2为曲线S：y=x-2sinx“上夹线”．