（1）当a=3时，f（x）=x³+4x²-3x，f^′（x）=3x²+8x-3，由f^′（x）=0，即3x²+8x-3=0，得x₁=-3，x2=

1

3

，

当-1＜x＜

1

3

时，f^′（x）＜0，所以f（x）在（-1，

1

3

）上为减函数，在（

1

3

，1）上导数为正，函数为增函数，

所以，f（x）在（-1，1）上不是单调函数．

（2）因为g（x）=

19

6

x-

1

3

在[0，2]上为增函数，所以g（x）∈[-

1

3

，6]．

令F（x）=f^′（x）+2ax=3x²+2（1-a）x-a（a+2）+2ax=3x²+2x-a²-2a

若存在实数a，对于任意的x₁∈[-1，1]存在x₂∈[0，2]，使得f'（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立，则对任意x∈[-1，1]，有F(x)min≥-

1

3

，F（x）_max≤6．

对于函数F（x）=3x²+2x-a²-2a，F(x)min=F(-

1

3

)=3×(-

1

3

)2+2×(-

1

3

)-a2-2a=-a2-2a-

1

3

，F（x）_max=5-a²-2a．

联立

-a2-2a- 1 3 ≥- 1 3 5-a2-2a≤6

解得：-2≤a≤0．