已知f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12，m∈R．（1）若f′

问题解答题

已知f（x）=x⁴-4x³+（3+m）x²-12x+12，m∈R．

（1）若f′（1）=0，求m的值，并求f（x）的单调区间；

（2）若对于任意实数x，f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=x⁴-4x³+（3+m）x²-12x+12，m∈R，

∴f′（x）=4x³-12x²+2（3+m）x-12，

∴f′（1）=4-12+2（3+m）-12=0，

解得m=7．

∴f′（x）=4x³-12x²+20x-12=4（x-1）（x²-2x+3），

方程x²-2x+3=0的判别式△=2²-3×4=-8＜0，

∴x²-2x+3＞0，

所以f′（x）=0，解得x=1，

列表讨论

由此可得f（x）的单调减区间是（-∞，1），f（x）单调增区间是（1，+∞）．

（2）f（x）=x⁴-4x³+（3+m）x²-12x+12=x⁴-4x³+3x²+mx²-12x+12

=x⁴-4x³+4x²+3x²+mx²-12x+12-4x²=x²（x²-4x+4）+（3x²-12x+12）+mx²-4x²

=x²（x-2）²+3（x-2）²+（m-4）x²=（x-2）²（x²+3）+（m-4）x²．

因为（x-2）²（x²+3）≥0，所以只要讨论（m-4）x²是否恒大于0即可．

①当m＜4时，f（2）=4（m-4）＜0，不合题意，

②当m≥4时，f（x）=（x²+3）（x-2）²+（m-4）x²≥0，对一切实数x恒成立，

所以，m的取值范围是[4，+∞）．