问题 解答题
已知函数f(x)=
a
x
+x+(a-1)lnx-15a,其中a<0,且a≠-1.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性.
(Ⅱ)设a>-e10,且函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为2,求a的值.
答案

(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-

a
x2
+1+
a-1
x
=
(x+a)(x-1)
x2
.…(1分)

(ⅰ)当-1<a<0时,由f'(x)>0得0<x<-a或x>1;由f'(x)<0得-a<x<1.

故f(x)在(0,-a),(1,+∞)上单调递增,在(-a,1)上单调递减.…(4分)

(ⅱ)当a<-1时,由f'(x)>0得0<x<1或x>-a;由f'(x)<0得1<x<-a.

故f(x)分别在(0,1),(-a,+∞)上单调递增,在(1,-a)上单调递减. …(7分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当-1<a<0时,f(x)在[1,+∞)上是增函数,

∴f(x)在[1,+∞)上的最小值是f(1)=a+1-15a=2,∴a=-

1
14
.       …(9分)

当a<-1时,f(x)在[1,+∞)上的最小值是f(-a)=-1-a+(a-1)ln(-a)-15a=2,

即-16a-3+(a-1)ln(-a)=0,

下证满足此式的a不存在.

设F(x)=16x-3-(x+1)lnx,其中x=-a∈(1,e10).

F′(x)=16-(lnx+1+

1
x
)>0,∴F(x)在(1,e10)上是增函数,

∴F(x)>F(1)=13>0,∴-16a-3+(a-1)ln(-a)>0.

∴-16a-3+(a-1)ln(-a)=0无解

综上,a=-

1
14
.                                    …(12分)

单项选择题 A3/A4型题
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