问题
解答题
已知函数f(x)=
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性. (Ⅱ)设a>-e10,且函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为2,求a的值. |
答案
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-
+1+a x2
=a-1 x
.…(1分)(x+a)(x-1) x2
(ⅰ)当-1<a<0时,由f'(x)>0得0<x<-a或x>1;由f'(x)<0得-a<x<1.
故f(x)在(0,-a),(1,+∞)上单调递增,在(-a,1)上单调递减.…(4分)
(ⅱ)当a<-1时,由f'(x)>0得0<x<1或x>-a;由f'(x)<0得1<x<-a.
故f(x)分别在(0,1),(-a,+∞)上单调递增,在(1,-a)上单调递减. …(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当-1<a<0时,f(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴f(x)在[1,+∞)上的最小值是f(1)=a+1-15a=2,∴a=-
. …(9分)1 14
当a<-1时,f(x)在[1,+∞)上的最小值是f(-a)=-1-a+(a-1)ln(-a)-15a=2,
即-16a-3+(a-1)ln(-a)=0,
下证满足此式的a不存在.
设F(x)=16x-3-(x+1)lnx,其中x=-a∈(1,e10).
∵F′(x)=16-(lnx+1+
)>0,∴F(x)在(1,e10)上是增函数,1 x
∴F(x)>F(1)=13>0,∴-16a-3+(a-1)ln(-a)>0.
∴-16a-3+(a-1)ln(-a)=0无解
综上,a=-
. …(12分)1 14