（Ⅰ）∵f（x）=x（x²-ax-3），x∈R，

∴f′（x）=3x²-2ax-3．…（2分）

∵x=-

1

3

是f(x)的极值点，∴f′(-

1

3

)=

1

3

+

2

3

a-3=0，

解得a=4．

∴f（x）=x³-4x²-3x，令f′（x）=3x²-8x-3，

得x1=-

1

3

，x₂=3，则当x在[1，4]上变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′ (x)		-	0	+
f（x）	-6	减	-18	增	-12

∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6．…（5分）

（Ⅱ）∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，

∴在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．

即a≤

3

2

（x-

1

x

）在[1，+∞）上恒成立，

∴只需a≤[

3

2

（x-

1

x

）]_min（x≥1）即可，

而当x≥1，[

3

2

（x-

1

x

）]_min=

3

2

（1-1）=0，

∴a≤0．…（10分）

（Ⅲ）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，

即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等实根．…（11分）

∴x³-4x²-3x-bx=0，

∴x=0是其中一个根，…（12分）

∴方程x²-4x-3-b=0有两个非零不等实根，

∴

△=16+4(3+b)＞0 -3-b≠0

，

解得b＞-7，且b≠-3．

∴存在满足条件的b值，b的取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）…12分