问题
填空题
若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则
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答案
设正四面体ABCD的棱长为a,可得
∵等边三角形ABC的高等于
a,底面中心将高分为2:1的两段3 2
∴底面中心到顶点的距离为
×2 3
a=3 2
a3 3
可得正四面体ABCD的高为h=
=a2-
a21 3
a6 3
∴正四面体ABCD的体积V=
×S△ABC×1 3
a=6 3
a2,2 12
设正四面体ABCD的内切球半径为r,则4×
×S△ABC×r=1 3
a2,解得r=2 12
a6 12
∴内切球表面积S2=4πr2=πa2 6
∵正四面体ABCD的表面积为S1=4×S△ABC=
a2,3
∴
=S1 S2
=
a23 πa2 6 6 3 π
故答案为:6 3 π