问题 填空题
若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则
S1
S2
=______.
答案

设正四面体ABCD的棱长为a,可得

∵等边三角形ABC的高等于

3
2
a,底面中心将高分为2:1的两段

∴底面中心到顶点的距离为

2
3
×
3
2
a=
3
3
a

可得正四面体ABCD的高为h=

a2-
1
3
a2
=
6
3
a

∴正四面体ABCD的体积V=

1
3
×S△ABC×
6
3
a=
2
12
a2

设正四面体ABCD的内切球半径为r,则4×

1
3
×S△ABC×r=
2
12
a2,解得r=
6
12
a

∴内切球表面积S2=4πr2=

πa2
6

∵正四面体ABCD的表面积为S1=4×S△ABC=

3
a2

S1
S2
=
3
a2
πa2
6
=
6
3
π

故答案为:

6
3
π

单项选择题
多项选择题