问题
解答题
| 设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0） （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在[-
（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m． |
答案
（Ⅰ）f′（x）=1-aln（x+1）-a
①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数 …（1分）
②当a＞0时，f（x）在(-1，e
-1]上递增，在[e1-a a
-1，+∞)单调递减．…（4分）1-a a
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-
，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减1 2
又f(0)=0，f(1)=1-ln4，f(-
)=-1 2
+1 2
ln21 2
∴f(1)-f(-
)＜01 2
∴当t∈[-
，+1 2
ln2，0)时，方程f（x）=t有两解 …（8分）1 2
（Ⅲ）要证：（1+m）n＜（1+n）m只需证nln（1+m）＜mln（1+n），
只需证：
＜ln(1+m) m ln(1+n) n
设g(x)=
，(x＞0)，则g/(x)=ln(1+x) x
=
-ln(1+x)x 1+x x2
…（10分）x-(1+x)ln(1+x) x2(1+x)
由（Ⅰ）知x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减 …（12分）
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n
∴g（m）＜g（n），故原不等式成立． …（14分）