问题
解答题
已知正三棱锥S-ABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15cm，底面边长为12cm，内接正三棱柱的侧面积为120cm2，
（1）求正三棱柱的高；
（2）求棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比．
答案
（1）设内接正三棱柱的高为 x，底面的边长为 a，
由直角三角形相似得
=15-x 15
，
×2 3
a3 2
×2 3
×123 2
∴a=
，内接正三棱柱的侧面积为：120=3a•x=360-4x 5
x，60-4x 5
x2-15x+50=0，∴x=10 或 x=5．
∴正三棱柱的高为10cm或5cm．
（2）两个棱锥的侧面积之比等于对应的相似比的平方，相似比为
，15 -x 15
当x=10 时，相似比为
，故两个棱锥的侧面积之比等于1 3
，1 9
当x=5时，相似比为
，故两个棱锥的侧面积之比等于2 3
，4 9
故棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比为：1：9或4：9．