问题
解答题
设 x=0是函数f（x）=（x2+ax+b）ex（x∈R）的一个极值点．
（1）求 a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（2）设 a＞0，g（x）=-（a2-a+1）ex+2，问是否存在ξ1，ξ2∈[-2，2]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤1成立？若存在，求 a的取值范围；若不存在，说明理由．
答案
（1）f'（x）=[x2+（a+2）x+a+b]ex（2分）
由f'（0）=0，得b=-a（4分）
∴f（x）=（x2+ax-a）ex
f'（x）=[x2+（a+2）x]ex=x（x+a+2）ex．
令f'（x）=0，得x1=0，x2=-a-2
由于x=0是f（x）极值点，故x1≠x2，即a≠-2
当a＜-2时，x1＜x2，故f（x）的单调增区间是（-∞，0]和[-a-2，+∞），单调减区间是[0，-a-2]（6分）
当a＞-2时，x1＞x2，故f（x）的单调增区间是（-∞，-a-2]和[0，+∞），单调减区间是[-a-2，0]（8分）
（2）当a＞0时，-a-2＜-2，f（x）在[-2，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，
因此f（x）在[-2，2]上的值域为[f（0），max[f（-2），f（2）]]=[-a，（4+a）e2]（10分）
而g(x)=-(a2-a+1)ex+2=-[(a-
)2+1 2
]ex+2在[-2，2]上单调递减，3 4
所以值域是[-（a2-a+1）]e4，-（a2-a+1）]（12分）
因为在[-2，2]上，fmin（x）-gmax（x）=-a+（a2-a+1）=（a-1）2≥0（13分）
所以，a只须满足
，解得0＜a≤2a＞0 -a+(a2-a+1)≤1
即当a∈（0，2]时，存在ξ1、ξ2∈[-2，2]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤1成立．（14分）