问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线的方程为y=8x-6．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（sinx）的最值．
答案
（Ⅰ）∵点P在切线上，
∴f（1）=2．
∴a+b=1．①（2分）
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f'（1）=8，
又f'（x）=3x2+2ax+b，
∴2a+b=5．②（4分）
解由①②组成的方程组，可得a=4，b=-3．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=3x2+8x-3，
令f'（x）＞0，可得x＜-3或x＞
；1 3
令f'（x）＜0，可得-3＜x＜
．（7分）1 3
∴函数f（x）的单调增区间为(-∞，-3)，(
，+∞)，单调减区间为(-3，1 3
)．（9分）1 3
（Ⅲ）设sinx=t，则问题可以转化为求函数f（t）（-1≤t≤1）的最值，
由（Ⅱ）可知f（t）在(-1，
)上是减函数，在(1 3
，1)上是增函数．1 3
∴f（t）的最小值为f(
)=1 3
+1 27
-1=-4 9
．（11分）14 27
又f（-1）=6，f（1）=2，
∴f（t）的最大值为f（-1）=6．
∴函数f（sinx）的最小值为-
，最大值为6．（13分）14 27