问题
解答题
已知x∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O（0，0）和点P（-1，2）．若曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且直线l的倾斜角θ∈（
（Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，求实数m的取值范围； （Ⅲ）若x1、x2∈[-1，1]，求证：f（x1）-f（x2）≤4． |
答案
解（Ⅰ）由已知f'（x）=3ax2+2bx+c∴
⇒c=d=0∴c=d=0…（2分）f(0)=0 f′(0)=0
又|
| =1且f'（-1）＜0∴f'（-1）=-3 （舍去f'（-1）=2-f′(-1) 1+2f′(1)
）1 3
∴
⇒f(-1)=-a+b=2 f′(-1)=3a-2b=-3
⇒f（x）=x3+3x2…（4分）a=1 b=3
（Ⅱ）令f'（x）=3x（x+2）＞0⇒x＞0或x＜-2 即f（x）的增区间为（-∞，-2]、[0，+∞）
∵y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数
∴2m-1＜m+1≤-2或0≤2m-1＜m+1 则m≤-3或
≤m＜2…（8分）1 2
（Ⅲ）令f'（x）=3x（x+2）=0⇒x=0或x=-2
∵f（0）=0，f（-1）=2，f（1）=4∴y=f（x）在[-1，1]上的最大值为4，最小值为0…（10分）
∴x1、x2∈[-1，1]时，|f（x1）-f（x2）|≤4-0=4…（12分）