问题
解答题
有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a是圆锥的全面积，a′是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．
答案
设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为L，
则
=a a′
=πR(R+L) 2πR(R+h)
，R+L 2(R+h)
∴2a（R+h）=a'（R+L）．
由R=
，代入可得L2-h2
2a(
+h)=a′(L2-h2
+L)，L2-h2
（2a-a'）
=a'L-2ah．L2-h2
两边同除以L，可得
（2a-a'）
=a′-2a1-(
)2h L
．h L
等式两边平方，
(4a2-4a′a+a′2)[1-(
)2]=a′2-4aa′•h L
+4a2(h L
)2，h L
(8a2-4aa′+a′2)(
)2-4aa′h L
+(4aa′+a′2)=0．h L
这个关于
的一元二次方程的判别式h L
△=（-4aa'）2-4（8a2-4aa'+a'2）（4aa'+a'2）=16a（2a-a'）3＞0，
∴该一元二次方程有二个实根，此二实根即圆锥的高与母线的比：
=h L
=4aa′± 16a(2a-a′)3 2(8a2-4aa′+a′2) 4aa′±4(2a-a′) a(2a-a′) 2[4a2+(2a-a′)2]
=
．2aa′±2(2a-a′) a(2a-a′) 4a2+(2a-a′)2