（1）由f（x）=ax+blnx+c知，f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+

b

x

，

又f（x）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0，而切线（e-1）x+ey-e=0的斜率为-

e-1

e

，

所以有f′(e)=a+

b

e

=-

e-1

e

  ①

由x=1是函数f（x）的零点，得f（1）=a+c=0  ②

由x=1是函数f（x）的极值点，得f^′（1）=a+b=0  ③

由③得：a=-b，把a=-b代入①得：-b+

b

e

=-1+

1

e

，所以b=1，则a=-1，由②得：a=-c，所以c=1．

所以，a=-1，b=1，c=1．

（2）由（1）知f（x）=-x+lnx+1（x＞0），

因此，g（x）=x²+mf（x）=x²-mx+mlnx+m （x＞0），

所以g′(x)=2x-m+

m

x

=

1

x

(2x2-mx+m) （x＞0）．

要使函数g（x）在（1，3）内不是单调函数，则函数g（x）在（1，3）内一定有极值，

而g′(x)=

1

x

(2x2-mx+m)，所以函数g（x）最多有两个极值．

令d（x）=2x²-mx+m （x＞0）．

（ⅰ）当函数g（x）在（1，3）内有一个极值时，g^′（x）=0在（1，3）内有且仅有一个根，

即d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）内有且仅有一个根，

又因为d（1）=2＞0，所以当d（3）＜0时，d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）内有且仅有一个根，

即2×3²-3m+m＜0，解得m＞9．

（ⅱ）当函数g（x）在（1，3）内有两个极值时，g^′（x）=0在（1，3）内有两个根，

即二次函数d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）内有两个不等根，

所以

△=(-m)2-4×2×m＞0 d(1)=2-m+m＞0 d(3)=2×32-3m+m＞0 1＜ m 4 ＜3

，

解得：8＜m＜9．

综上，实数m的取值范围是（8，9）∪（9，+∞）．

（3）由h（x）=f（x）-1得：h（x）=-x+lnx （x＞0），所以h′(x)=

1-x

x

，

令h^′（x）≤0，即

1-x

x

≤0，得：x≥1，即h（x）的单调递减区间为[1，+∞）．

事实上，

由函数h（x）=-x+lnx （x＞0）在[1，+∞）上单调递减可知，

当x∈（1，+∞）时，h（x）＜h（1），即-x+lnx＜-1，

亦即lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）都成立，

不等式两边同时除以x，

亦即0＜

lnx

x

＜

x-1

x

对一切x∈（1，+∞）都成立，

所以0＜

ln2

2

＜

1

2

，

0＜

ln3

3

＜

2

3

，

0＜

ln4

4

＜

3

4

，

…

0＜

ln2012

2012

＜

2011

2012

，

所以有

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

ln2012

2012

＜

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2011

2012

，

所以

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

ln2012

2012

＜

1

2012

．