问题
解答题
已知函数f（x）=kx，g(x)=
（1）求函数g(x)=
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围； （3）求证：
|
答案
（1）∵g(x)=
（x＞0），∴g′(x)=lnx x
，令g'（x）＞0，得0＜x＜e，1-lnx x2
故函数g(x)=
的单调递增区间为（0，e）．lnx x
（2）由kx≥
，得k≥lnx x
，令h(x)=lnx x2
，则问题转化为k大于等于h（x）的最大值．lnx x2
又h′(x)=
，令h′(x)=0时，x=1-2lnx x3
．e
当x在区间（0，+∞）内变化时，h'（x）、h（x）变化情况如下表：
| x | （0，
|
| （
| ||||||
| h'（x） | + | 0 | - | ||||||
| h（x） | ↗ |
| ↘ |
| e |
| 1 |
| 2e |
| 1 |
| 2e |
（3）由
≤lnx x2
，∴1 2e
＜lnx x4
•1 2e
（x≥2），1 x2
∴
+ln2 24
+ln3 34
+…+ln4 x4
＜lnn n4
(1 2e
+1 22
+…+1 32
)．1 n2
又∵
+1 22
+…+1 32
＜1 n2
+1 1×2
+…+ 1 2×3
=1 (n-1)n
1-
+1 2
-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 4
-1 n-1
=1-1 n
＜1，1 n
∴
+ln2 24
+ln3 34
+…+ln4 x4
＜lnn n4
．1 2e