问题
解答题
已知函数f(x)=
(1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a=1时,判断函数g(x)的零点的个数,并说明理由. |
答案
(1)由f(x)=
x2+alnx,得f′(x)=x+1 2
=a x
,其中x>0.x2+a x
当a≥0时,f′(x)>0对任意x∈(0,+∞)均成立,这是f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
当a<0时,由f′(x)>0⇒x>
或x<--a
(舍)-a
由f′(x)<0⇒0<x<
,-a
∴f(x)在区间(
,+∞)上单调递增,在区间(0,-a
)上单调递减;-a
(2)a=1时,g(x)=f(x)-
x3=2 3
x2+lnx-1 2
x3,2 3
g′(x)=x+
-2x2=1 x
,其中x>0,(1-x)(1+x+2x2) x
∴x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
∴[g(x)]min=g(1)=-
<0,1 6
∴函数g(x)零点的个数为0.