问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）讨论函数f（x）的单调性； （2）当a=1时，判断函数g（x）的零点的个数，并说明理由． |
答案
（1）由f（x）=
x2+alnx，得f′（x）=x+1 2
=a x
，其中x＞0．x2+a x
当a≥0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）均成立，这是f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，由f′（x）＞0⇒x＞
或x＜--a
（舍）-a
由f′（x）＜0⇒0＜x＜
，-a
∴f（x）在区间（
，+∞）上单调递增，在区间（0，-a
）上单调递减；-a
（2）a=1时，g（x）=f（x）-
x3=2 3
x2+lnx-1 2
x3，2 3
g′（x）=x+
-2x2=1 x
，其中x＞0，(1-x)(1+x+2x2) x
∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴[g（x）]min=g（1）=-
＜0，1 6
∴函数g（x）零点的个数为0．