问题 解答题
已知函数f(x)=
1
2
x2+alnx
( a为常数、a∈R),g(x)=f(x)-
2
3
x3

(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a=1时,判断函数g(x)的零点的个数,并说明理由.
答案

(1)由f(x)=

1
2
x2+alnx,得f′(x)=x+
a
x
=
x2+a
x
,其中x>0.

当a≥0时,f′(x)>0对任意x∈(0,+∞)均成立,这是f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;

当a<0时,由f′(x)>0⇒x>

-a
或x<-
-a
(舍)

由f′(x)<0⇒0<x<

-a

∴f(x)在区间(

-a
,+∞)上单调递增,在区间(0,
-a
)上单调递减;

(2)a=1时,g(x)=f(x)-

2
3
x3=
1
2
x2+lnx-
2
3
x3

g′(x)=x+

1
x
-2x2=
(1-x)(1+x+2x2)
x
,其中x>0,

∴x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.

∴[g(x)]min=g(1)=-

1
6
<0,

∴函数g(x)零点的个数为0.

多项选择题
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