问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y-2=0，其中a，b，c为常数．
（Ⅰ）函数f（x）是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a表示）；
（Ⅱ）若x=1不是函数f（x）的极值点，求证：函数f（x）的图象关于点M对称．
答案
（Ⅰ）f（x）=x3+ax2+bx+c，f′（x）=3x2+2ax+b，（1分）
由题意，知m=2，f（1）=1+a+b+c=2，f′（1）=3+2a+b=0，
即b=-2a-3，c=a+4（2分）
f′(x)=3x2+2ax-(2a+3) =3(x-1)(x+1+
)，（3分）2a 3
1当a=-3时，f′（x）=3（x-1）2≥0，函数f（x）在区间（-∞，+∞）上单调增加，
不存在单调减区间；（5分）
2当a＞-3时，-1-
＜1，有2a 3
| x | （-∞，-1-
| （-1-
| （1，+∞） | ||||
| f′（x） | + | - | + | ||||
| f（x） | ↑ | ↓ | ↑ |
| 2a |
| 3 |
3当a＜-3时，-1-
＞1，有2a 3
| x | （-∞，1） | （1，-1-
| （-1-
| ||||
| f′（x） | + | - | + | ||||
| f（x） | ↑ | ↓ | ↑ |
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x=1不是函数f（x）的极值点，则a=-3，
b=3，c=1，f（x）=x3-3x2+3x+1=（x-1）3+2（10分）
设点P（x0，y0）是函数f（x）的图象上任意一点，则y0=f（x0）=（x0-1）3+2，
点p（x0，y0）关于点M（1，2）的对称点为Q（2-x0，4-y0），
∵f（2-x0）=（2-x0-1）3+2=-（x0-1）3+2=2-y0+2=4-y0
∴点Q（2-x0，4-y0）在函数f（x）的图象上．
由点P的任意性知函数f（x）的图象关于点M对称．（14分）