为推进节能减排,发展低碳经济,深化“宜居重庆”的建设,我市某“用电大户”用480万元购得“变频调速技术”后,进一步投入资金1520万元购买配套设备,以提高用电效率达到节约用电的目的。已知该“用电大户”生产的产品“草甘磷”每件成本费为40元。经过市场调研发现:该产品的销售单价,需定在100元到300元之间较为合理。当销售单价定为100元时,年销售量为20万件;当销售单价超过100元,但不超过200元时,每件新产品的销售价格每增加10元,年销售量将减少0.8万件;当销售单价超过200元,但不超过300元时,每件产品的销售价格在200元的基础上每增加10元,年销售量将减少1万件。设销售单价为x(元),年销售量为y(万件),年获利为w(万元)。
(年获利=年销售额-生产成本-节电投资)
(1)直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)求第一年的年获利w与x间的函数关系式,并说明投资的第一年,该“用电大户”是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最少亏损是多少?
(3)若该“用电大户”把“草甘磷”的销售单价定在超过100元,但不超过200元的范围内,并希望到第二年底,除去第一年的最大盈利(或最小亏损)后,两年的总盈利为1842万元,请你确定此时销售单价。在此情况下,要使产品销售量最大,销售单价应定为多少元?
解:(1)当时,
;
当时,
得,∴
(2)当时,
当x=195时,
当时,
∴对称轴是直线x=180
∴
∴投资的第一年该“用电大户”是亏损的,最少亏损为78万元。
(3)依题意可知,当时,第二年w与x之间的函数关系为
当总利润刚好为1842万元时,依题意可得
整理,得
解得,
∴要使两年的总盈利为1842万元,销售单价可定为190元或200元
∵对y随x的增大而减小
∴使销售量最大的销售单价应定为190元。