∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁内接于半径为2的球

又∵A，B两点的球面距离为π，故∠AOB=90°，又∵△OAB是等腰直角三角形，∴AB=2

2

，则△ABC的外接圆半径为

2 6

3

则O点到平面ABC的距离为

2 3

3

∴正三棱柱高h=

4 3

3

，又∵△ABC的面积S=2

3

∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=S•h=8．

故答案为：8