已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex,其定义域为[-2,t](t>-2). (1)试确定t的范围,使得函数f(x)在区间[-2,t]上为增函数; (2)求证:f(t)>f(-2); (3)求证:对任意t>-2,总有x0∈(-2,t)满足
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(1)因为f′(x)=(2x-3)ex+(x2-3x+3)ex,
由f′(x)>0⇒x>1或x<0,
由f′(x)<0⇒0<x<1,
∴函数f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
∵函数f(x)在[-2,t]上为单调函数,
∴-2<t≤0,
(2)证:因为函数f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
所以f(x)在x=1处取得极小值e,
又f(-2)=13e-2<e,
所以f(x)在[2,+∞)上的最小值为f(-2),
从而当t>-2时,f(-2)<f(t),
(3)证:因为
=x02-x0,f′(x0) ex0
∴
=f′(x0) ex0
(t-1)2,2 3
即为x02-x0=
(t-1)2,2 3
令g(x)=x2-x-
(t-1)2,2 3
从而问题转化为证明方程g(x)=x2-x-
(t-1)2=0在(-2,t)上有解并讨论解的个数,2 3
因为g(-2)=6-
(t-1)2=-2 3
(t-4)(t+2),2 3
g(t)=t(t-1)-
(t-1)2=2 3
(t+2)(t-1)1 3
所以当t>4或-2<t<1时,g(-2)•g(t)<0,
所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且只有一解,
当1<t<4时,g(-2)>0且g(t)>0,
但由于g(0)=-
(t-1)2<0,4 3
所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且有两解,
当t=1时,g(x)=x2-x=0,
解得x=0或1,
所以g(x)=0在(-2,t)上有且只有一解,
当t=4时,g(x)=x2-x-6=0,
所以g(x)=0在(-2,t)上也有且只有一解,
综上所述,对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足
=f′(x0) ex0
(t-1)2,2 3
且当t≥4或-2<t≤1时,有唯一的x0适合题意,
当1<t<4时,有两个x0适合题意