问题 解答题
已知函数f(x)=
1
3
x3+x2-ax(a∈R)

(1)若a=8,求f(x)在区间[-6,3]上的最大值;
(2)若g(x)=
3f(x)•ex
x
在(-∞,0)上恰有两个极值点,求a的取值范围.
答案

(1)当a=8时,函数f(x)=

1
3
x3+x2-8x.

∴f′(x)=x2+2x-8

令f′(x)=0,则x=-4,或x=2

当-6<x<-4时,f′(x)>0,当2<x<3时,f′(x)>0,当-4<x<2时,f′(x)<0,

∴f(x)极大值=f(-4)=

80
3

又∵f(-6)=12,f(3)=-6

f(x)的最大值为

80
3

(2)∵g(x)=

3f(x)•ex
x
=(x2+3x-3a)ex

∴g′(x)=(x2+5x+3-3a)ex

∵g(x)=

3f(x)•ex
x
在(-∞,0)上恰有两个极值点,

∴g(x)=0在(-∞,0)上恰有两个相异实根

即x2+5x+3-3a=0在(-∞,0)上恰有两个相异实根

△=25-4(3-3a)>0
3-3a>0

解得:-

13
12
<a<1

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