问题 解答题
已知函数f(x)=alnx+
1
x
(a>0)

(I)求函数f(x)的单调区间和极值;
(II)若∀x>0,均有ax(2-lnx)≤1,求实数a的取值范围.
答案

(I)依题意,x>0,f′(x)=

a
x
-
1
x2

由f′(x)>0得

a
x
-
1
x2
>0,解得x
1
a
,函数f(x)的单调增区间为(
1
a
,+∞)

由f′(x)<0得

a
x
-
1
x2
<0,解得x
1
a
,函数f(x)的单调减区间为(0,
1
a

∴当x=

1
a
时,函数f(x)的极小值为f(
1
a
)=aln
1
a
+a=a-alna

(II)设g(x)=ax(2-lnx)=2ax-axlnx,则函数定义域为(0,+∞)

g′(x)=2a-(ax•

1
x
+alnx)=a(1-lnx)

由g′(x)=0,解得x=e,

由a>0可知,当x∈(0,e)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,

当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减,

∴函数g(x)的最大值为g(e)=ae(2-lne)=ae

要使不等式恒成立,只需g(x)的最大值不大于1即可,即g(e)≤1

也即ae≤1,解得 a≤

1
e

又∵a>0

∴0<a≤

1
e

单项选择题
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