问题
解答题
已知函数f(x)=alnx+
(I)求函数f(x)的单调区间和极值; (II)若∀x>0,均有ax(2-lnx)≤1,求实数a的取值范围. |
答案
(I)依题意,x>0,f′(x)=
-a x 1 x2
由f′(x)>0得
-a x
>0,解得x>1 x2
,函数f(x)的单调增区间为(1 a
,+∞)1 a
由f′(x)<0得
-a x
<0,解得x<1 x2
,函数f(x)的单调减区间为(0,1 a
)1 a
∴当x=
时,函数f(x)的极小值为f(1 a
)=aln1 a
+a=a-alna1 a
(II)设g(x)=ax(2-lnx)=2ax-axlnx,则函数定义域为(0,+∞)
g′(x)=2a-(ax•
+alnx)=a(1-lnx)1 x
由g′(x)=0,解得x=e,
由a>0可知,当x∈(0,e)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,
当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减,
∴函数g(x)的最大值为g(e)=ae(2-lne)=ae
要使不等式恒成立,只需g(x)的最大值不大于1即可,即g(e)≤1
也即ae≤1,解得 a≤1 e
又∵a>0
∴0<a≤1 e