已知函数f（x）=ax2+2lnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值是-2，求a的值；
（3）记g（x）=f（x）+（a-1）lnx+1，当a≤-2时，求证：对任意x1，x2∈（0，+∞），总有|g（x1）-g（x2）|≥4|x1-x2|
解析：（1）f（x）的定义域是（0，+∞）．f′(x)=2ax+
=2 x
．2ax2+2 x
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，令f′（x）=0，则2ax2+2=0，所以，x1=
，x2=-- 1 a
（舍去）．- 1 a
当x∈(0，
)时，f′（x）＞0，故f（x）在(0，- 1 a
)上是增函数；- 1 a
当x∈(
，+∞)时，f′（x）＜0，故f（x）在(- 1 a
，+∞)上是减函数．- 1 a
故当a≥0时，f（x）的增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）的增区间是(0，
)，减区间是(- 1 a
，+∞)．- 1 a
（2）①当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，故在（0，1]上的最大值为f（1）=a+2ln1=a=-2，显然不合题意；
②若
，即-1≤a＜0时，（0，1]⊆(0，a＜0
≥1- 1 a
)，则f（x）在（0，1]上是增函数，故在（0，1]上最大值为f（1）=a=-2，不合题意，舍去；- 1 a
③若
，即a＜-1时，f（x）在(0，a＜0
＜1- 1 a
)上是增函数，在(- 1 a
，1)上为减函数，故在（0，1]上的最大值是f(- 1 a
)=-1+2ln- 1 a
=-2，解得：a=-e，符合．- 1 a
综合①、②、③得：a=-e．
（3）由g（x）=f（x）+（a-1）lnx+1，则g（x）=（a+1）lnx+ax2+1，
则g′(x)=
+2ax=a+1 x
，当a≤-2时，g′（x）＜0，故当a≤-2时，g（x）在（0，+∞）上为减函数．2ax2+a+1 x
不妨设x2≥x1＞0，则g（x2）≤g（x1），故|g（x1）-g（x2）|≥4|x1-x2|等价于g（x1）-g（x2）≥4（x2-x1），
即g（x1）+4x1≥g（x2）+4x2．
记h（x）=g（x）+4x，下面证明当x2≥x1＞0时，h（x1）≥h（x2）
由h（x）=g（x）+4x=（a+1）lnx+ax2+4x+1得：
h′(x)=
≤2ax2+4x+a+1 x
=-4x2+4x-1 x
≤0，-(2x-1)2 x
从而h（x）在（0，+∞）上为减函数，故当x2≥x1＞0时，h（x1）＞h（x2），
即有：g（x1）+4x1≥g（x2）+4x2，
故当a≤-2时，对任意x1，x2∈（0，+∞），总有|g（x1）-g（x2）|≥4|x1-x2|．