问题
解答题
已知函数f（x）=x3-3a2x+1
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知a＞0，若∀x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
答案
（1）当a=1时，f（x）=x3-3x+1
f'（x）=3x2-3
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞1，
由f'（x）＜0得-1＜x＜1
故f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间是（-1，1）
（2）由题∀x∈[1，2]，恒有x3-3a2x+1≥0⇒∀x∈[1，2]，恒有3a2≤x3+1 x
令h(x)=
=x2+x3+1 x
，h′(x)=2x-1 x
=1 x2
，2(x3-
)1 2 x2
当x∈[1，2]时，h'（x）＞0
∴h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（x）min=h（1）=2
故3a2≤2
又a＞0
∴0＜a≤6 3