问题
解答题
已知函数f(x)=(m+1)lnx+
(1)当m=-
(2)讨论函数f(x)的单调性. |
答案
(1)当m=-
时,f(x)=1 2
lnx-1 2
x2-11 4
∴f′(x)=(1+x)(1-x) 2x
∵x>0,∴x+1>0
∴令f′(x)>0,即
>0,∵x>0,x+1>0,∴0<x<1;(1+x)(1-x) 2x
令f′(x)<0,即
<0,∵x>0,x+1>0,∴x>1,(1+x)(1-x) 2x
∴函数的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+∞)
∵x∈[
, e]1 e
∴函数的递增区间为[
,1),递减区间为(1,e]1 e
∴f(x)在区间[
, e]上的最大值为f(1)=-1 e
,最小值为f(e)=5 4
-1 2
e2-1;1 4
(2)∵函数f(x)=(m+1)lnx+
x2-1,m 2
∴f′(x)=
(x>0)mx2+(m+1) x
当m≥0时,f′(x)>0,函数在(0,+∞)上单调递增;
当-1<m<0时,f′(x)=
,m(x+
)(x--1-m m
)-1-m m x
令f′(x)>0,∵x>0,-1<m<0,∴0<x<
;-1-m m
令f′(x)<0,∵x>0,-1<m<0,∴x>
;-1-m m
∴函数在(0,
)上单调递增,在(-1-m m
,+∞)上单调减;-1-m m
当m≤-1时,f′(x)≤0,函数在(0,+∞)上单调递减.