问题 解答题
已知函数f(x)=(m+1)lnx+
m
2
x2-1

(1)当m=-
1
2
时,求f(x)在区间[
1
e
, e]
上的最值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
答案

(1)当m=-

1
2
时,f(x)=
1
2
lnx-
1
4
x2-1

f′(x)=

(1+x)(1-x)
2x

∵x>0,∴x+1>0

∴令f′(x)>0,即

(1+x)(1-x)
2x
>0,∵x>0,x+1>0,∴0<x<1;

令f′(x)<0,即

(1+x)(1-x)
2x
<0,∵x>0,x+1>0,∴x>1,

∴函数的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+∞)

∵x∈[

1
e
, e]

∴函数的递增区间为[

1
e
,1),递减区间为(1,e]

∴f(x)在区间[

1
e
, e]上的最大值为f(1)=-
5
4
,最小值为f(e)=
1
2
-
1
4
e2-1

(2)∵函数f(x)=(m+1)lnx+

m
2
x2-1,

f′(x)=

mx2+(m+1)
x
(x>0)

当m≥0时,f′(x)>0,函数在(0,+∞)上单调递增;

当-1<m<0时,f′(x)=

m(x+
-1-m
m
)(x-
-1-m
m
)
x

令f′(x)>0,∵x>0,-1<m<0,∴0<x<

-1-m
m

令f′(x)<0,∵x>0,-1<m<0,∴x>

-1-m
m

∴函数在(0,

-1-m
m
)上单调递增,在(
-1-m
m
,+∞)上单调减;

当m≤-1时,f′(x)≤0,函数在(0,+∞)上单调递减.

单项选择题
单项选择题