问题
解答题
已知二次函数y=x2-mx+m-2。
（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；
（3）将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自点A出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后到达点B，求使点P运动的总 路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。
答案
解：（1）令y=0，则x2-mx+m-2=0，
∵△=（-m）2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4，
又∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+4>0，
即△>0，
∴无论m为任何实数，一元二次方程x2-mx+m-2=0总有两不等实根，
∴该二次函数图象与x轴都有两个交点；
（2）∵二次函数y=x2-mx+m-2的图象经过点（3，6），
∴32-3m+m-2=6，
解得m=
，
∴二次函数的解析式为
；
（3）如图，将y=x的图象向下平移2个单位长度后，
其解析式为：y=x-2，
解方程组
得
∴直线y=x-2与抛物线y=x2-
x-
的交点为A（
，
），B（1，-1），
∴点A关于对称轴x=
的对称点是A′（0，-
），
点B关于x轴的对称点是B′（1，1），
设过点A′B′的直线解析式为y=kx+b，
∴
解得
∴直线A′B′的解析式为y=
x-
∴直线A′B′与x轴的交点为F（
，0），
与直线x=
的交点为E（，-
），
则点E（
，-
）、F（
，0）为所求，
过点B′作B′H ⊥AA′于点H，
∴B′H=
，HA′=1，
在Rt△A′B′H中，
∴所求最短总路径的长为AE+EF+FB=A′B′=
。
选择题